三角錐の問題 [学校]
同僚が、「分かりますか」と問題を持ってきた。
生徒が質問してきたそうだ。たぶん塾の問題なのだろう。中１の範囲で出来るという。
Aを頂点とする三角錐A-BCDがあり、AP:PB＝１：２、AQ：QC＝２：３、AR：RD＝１：１となる面PQRを考えるとき、三角錐R-BCDの体積は、三角錐A-PQRの何倍か。
というのだが、よく分からない。
元の三角錐が、任意の三角錐でも問題が成立するのかどうか。正三角錐なら、攻略の方法もありそうだが。
もう少し考えよう。
生徒が質問してきたそうだ。たぶん塾の問題なのだろう。中１の範囲で出来るという。
Aを頂点とする三角錐A-BCDがあり、AP:PB＝１：２、AQ：QC＝２：３、AR：RD＝１：１となる面PQRを考えるとき、三角錐R-BCDの体積は、三角錐A-PQRの何倍か。
というのだが、よく分からない。
元の三角錐が、任意の三角錐でも問題が成立するのかどうか。正三角錐なら、攻略の方法もありそうだが。
もう少し考えよう。
え〜と、たぶん7.5倍だと思います。
三角錐R-BCDの体積はA-BCDの2分の1(底面BCDが同じで高さが半分)。一方の三角錐A-PQRもA-BCDとの比で考えますが、底面を三角形APRと見立てて、こいつの面積は三角形ABDの6分の1(AR:RD=1:1だから三角形ABR=BRD、またAP:PB=1:2なので三角形APR:同PBR=1:2。以上からAPR:ABD=1:6)。また、A-PQRの高さはAQ:QC=2:3よりA-BCDの高さの５分の2。従ってA-PQRの体積はA-BCDに対して、底面積が6分の1の、高さが5分の2なので15分の1。
同じ三角錐A-BCDの2分の1と15分の1なので2分の15倍、すなわち7.5倍となるんでないでしょうか。
by shira (2013-09-19 22:40)
>shiraさん、ご明察です！
ただ、高さの説明がもう少し親切な方が良いのでは。
△APRを底面と考えると、三角錐Q-APRの高さは、頂点Qから面APRに下ろした足までの長さとなります。同じく、三角錐C-ABDを考えて、その高さは、頂点Cから面ABDに下ろした足までの長さとなり、AQ：AC＝２：５から、高さの比も２：５となります。
by tyuuri (2013-09-20 18:14)
おお、正解でしたか。いや〜良かった。子どもたちの勉強に付き合わされた成果ですかね。
by shira (2013-09-20 23:51)
良かったですね。センスありますよ。大したものです。
by tyuuri (2013-09-21 16:32)