「虚数の虚数乗」√ー1^√-1(=i^i)=1/√(e^π) の簡単な証明 [雑感]
i^i=1/√(e^π) の簡単な証明を紹介する。
虚数i(-1の平方根)の虚数乗が実数になるというのは、不思議な結果だ。
オイラーの公式は分かっているものとして、
e^iy=cosy+isiny
z=r(cosθ+isinθ)=re^iθ とすると
複素数 z=x+iyに対して
e^z=e^x・e^iy=e^x・(cosy +isiny)
e^iyは周期2πを持つから
e^(z+2nπi)=e^z
ここで複素数に対する対数の定義を定める
z≠0,ωに対して
ω=log z ⇔ z=e^ω
z=re^iθ, ω=u+iv とおくと
re^iθ=e^(u+iv)
両者の絶対値を比較すると
r=e^u より u=logr
また両辺の偏角を比較すると
v=θ+2mπ (mは整数)と書ける
以上より
z=re^iθ に対して
logz=logr+i(θ+2mπ)
ここで複素数の冪乗の定義をする
a>0ならば、bを複素数とすると
a^b=e^(bloga)
先ほどの結果より
i(log1+i)=i(1/2・log2+(8m+1)/4・πi)
=(8m+1)/4・π+i・1/2・log2
なので定義より
(1+i)^i=e^ilog(1+i)
=e^(ー(8m+1)/4・π+i・1/2・log2) (mは整数)
・・・複数の値をとる
ここでi=e^(π/2・i)より
logi=log1+i(π/2+2mπ)
=(4m+1)/2・πi
よって
ilogi=ー(4m+1)/2・π
なので累乗の定義より
i^i=e^ilogi
=e^(ー(4m+1)/2・π) (mは整数)
特にm=0のとき、
i^i=e^(ーπ/2)=1/(e^(π/2))=1√(e^π)
=0.20787957635・・・
となり、これをi^iの主値という。
関数電卓では、
e^π=23.1406・・・
√e^π=4.8104・・・
1/√e^π=0.207879576・・・
LL尺を持つ計算尺では、
D 3.14 次に A 23.1 次に C 0.208
LL3 23.1 D 4.81 D 1.0 (4.81の逆数を求めC尺に0.208を得る)
虚数i(-1の平方根)の虚数乗が実数になるというのは、不思議な結果だ。
オイラーの公式は分かっているものとして、
e^iy=cosy+isiny
z=r(cosθ+isinθ)=re^iθ とすると
複素数 z=x+iyに対して
e^z=e^x・e^iy=e^x・(cosy +isiny)
e^iyは周期2πを持つから
e^(z+2nπi)=e^z
ここで複素数に対する対数の定義を定める
z≠0,ωに対して
ω=log z ⇔ z=e^ω
z=re^iθ, ω=u+iv とおくと
re^iθ=e^(u+iv)
両者の絶対値を比較すると
r=e^u より u=logr
また両辺の偏角を比較すると
v=θ+2mπ (mは整数)と書ける
以上より
z=re^iθ に対して
logz=logr+i(θ+2mπ)
ここで複素数の冪乗の定義をする
a>0ならば、bを複素数とすると
a^b=e^(bloga)
先ほどの結果より
i(log1+i)=i(1/2・log2+(8m+1)/4・πi)
=(8m+1)/4・π+i・1/2・log2
なので定義より
(1+i)^i=e^ilog(1+i)
=e^(ー(8m+1)/4・π+i・1/2・log2) (mは整数)
・・・複数の値をとる
ここでi=e^(π/2・i)より
logi=log1+i(π/2+2mπ)
=(4m+1)/2・πi
よって
ilogi=ー(4m+1)/2・π
なので累乗の定義より
i^i=e^ilogi
=e^(ー(4m+1)/2・π) (mは整数)
特にm=0のとき、
i^i=e^(ーπ/2)=1/(e^(π/2))=1√(e^π)
=0.20787957635・・・
となり、これをi^iの主値という。
関数電卓では、
e^π=23.1406・・・
√e^π=4.8104・・・
1/√e^π=0.207879576・・・
LL尺を持つ計算尺では、
D 3.14 次に A 23.1 次に C 0.208
LL3 23.1 D 4.81 D 1.0 (4.81の逆数を求めC尺に0.208を得る)
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